The generalized Gelfand – Graev characters of GL n ( F q ) ( extended abstract )

Introduced by Kawanaka in order to find the unipotent representations of finite groups of Lie type, generalized Gelfand–Graev characters have remained somewhat mysterious. Even in the case of the finite general linear groups, the combinatorics of their decompositions has not been worked out. This paper re-interprets Kawanaka’s definition in type A in a way that gives far more flexibility in computations. We use these alternate constructions to show how to obtain generalized Gelfand–Graev representations directly from the maximal unipotent subgroups. We also explicitly decompose the corresponding generalized Gelfand–Graev characters in terms of unipotent representations, thereby recovering the Kostka–Foulkes polynomials as multiplicities. Résumé. Introduits par Kawanaka pour trouver des représentations unipotentes de groupes finis de type Lie, les caractères généralisés de Gelfand–Graev sont restés en quelque sorte mystérieux. Même dans le cas des groupes généraux linéaires finis, la combinatoire de leurs décompositions n’a pas été étudiée. Cet article réinterprète la définition de Kawanaka en type A d’une façon qui offre bien plus de flexibilité pour les calculs. Nous utilisons ces constructions alternatives pour montrer comment obtenir les représentations de Gelfand–Graev directement depuis les sous-groupes unipotents maximaux. Nous décomposons aussi explicitement les caractères généralisés de Gelfand– Graev correspondants en termes de représentations unipotentes, et retrouvons ainsi comme multiplicités les polynômes de Kostka–Foulkes.